У простых чисел обнаружили необычную закономерность

Простые числа, которые делятся без остатка только на единицу и самих себя, оказались не такими простыми, как считалось ранее. Согласно основной теореме арифметики, все натуральные числа могут быть представлены в виде произведения простых чисел, которые выступают в роли математических "строительных блоков".

Так как все чётные числа делятся на 2, а все числа, заканчивающиеся на 0 и 5, могут быть поделены на 5, простые числа кроме 2 и 5 оканчиваются на 1, 3, 7 или 9 с одинаковой вероятностью каждого варианта окончания. Таким образом, долгое время считалось, что простые числа распределены по числовой прямой случайным образом. Но два американских математика обнаружили странную закономерность, которая исключает такую случайность.

В случае случайного распределения каждое следующее простое число может с равной долей вероятности заканчиваться на любую из четырёх возможных цифр. Например, за простым числом, оканчивающимся на 3, в 25% случаев должно следовать другое простое число, которое также будет заканчиваться на 3. Однако Каннан Саундарараджан (Kannan Soundararajan) и Роберт Лемке Оливер (Robert Lemke Oliver) из Стэнфордского университета рассчитали, что вероятность соседства двух простых чисел с одинаковой цифрой на конце гораздо ниже, чем это можно ожидать от случайной последовательности.

Математики установили, что две единицы на конце простого числа могут стоять рядом лишь в 18% случаев, в то время как 3 и 7 следуют за 1 в 30%, а 9 – в 22% случаев. Как сообщается в препринте статьи, доступном на сайте arXiv, такая же тенденция наблюдается и для других комбинаций окончаний.

Учёные говорят, что на больших выборках картина становится больше похожа на случайность, но даже когда они провели анализ нескольких триллионов простых чисел, необычная закономерность всё ещё присутствовала, пусть и в меньших масштабах.

Лемке Оливер и Саундарараджан считают, что у их открытия есть объяснение. Большинство современных исследований простых чисел опираются на теорию математиков Годфри Харолда Харди (Godfrey Harold Hardy) и Джона Литтлвуда (John Littlewood), которая предполагает, что пары, тройки и большие выборки простых чисел распределяются не равномерно, а более сложным образом.

В начале двадцатого века эти учёные собрали вместе все известные правила чередования простых чисел, например, то, что два соседних числа не могут быть простыми, потому что одно из них чётное, а если число N простое, то число N+2 также окажется простым с большей вероятностью, чем любое случайно выбранное число. Эти наблюдения были объединены в общую гипотезу, которая описывает распределение во всех видах первичных кластеров простых чисел.

Новое исследование показывает, что именно гипотеза Харди-Литтлвуда, которая до сих пор не была доказана, лучше всего описывает чередование последних цифр в простых числах. Она также подразумевает, что по мере расширения выборки чисел характер распределения будет всё больше напоминать случайный.

Хотя необычные результаты новой работы не имеют практической значимости и не могут быть использованы для решения важных математических проблем, специалисты считают, что выводы американских учёных дали хороший стимул к пересмотру некоторых вещей, связанных с простыми числами, на которые математики долгое время не обращали внимания.

Источник